quinta-feira, 4 de novembro de 2010

Trabalho de Matemática!

Pierre Frédéric Sarrus

O matemático Pierre Frédéric Sarrus nasceu em Saint-Affrique (10 de Março de 1798 - 20 de Novembro de 1861), foi responsável pela regra prática de resolução de determinantes de ordem 3. Regras, teoremas, postulados eram batizadas pelo nome dos seus inventores e com essa não seria diferente, fico conhecida como: Regra de Sarrus.

Essa regra diz que para encotrarmos o valor numérico de um determinante de ordem 3, basta repetir as duas primeiras colunas à direita do determinante e mutiplicar os elementos do determinante da seguinte forma:

Dado o determinante de ordem 3x3 , veja como aplicar a Regra de Sarrus.

Repetimos as duas primeiras colunas: .

Multiplicamos os elementos das diagonais secundárias e os elemetos das diagonais principais.



Sendo que os produtos das diagonais secundárias devem ter seus sinais invertidos, ficando da seguinte forma o valor numérico desse determinante:

= +5 – 2 – 6 = -3

Todos os determiantes de ordem 3 serão resolvidos seguindo esse mesmo processo.





 Jacques Philippe 

Jacques Philippe Marie Binet (Fevereiro 2, 1786 - Maio 12, 1856) era a Francês matemático, físico e astrónomo carregados dentro Rennes; morreu dentro Paris, France, dentro 1856. Fêz contribuições significativas a teoria do número, e as fundações matemáticas de álgebra da matriz qual conduziria mais tarde às contribuições importantes perto Cayley e outros. Em seu memoir na teoria dos machados conjugate e do momento da inércia dos corpos enumerated o princípio sabido agora como Theorem de Binet. É reconhecido também como o primeiro para derivar a régua para multiplicando matrizes em 1812, e Fórmula de Binet expressar Números de Fibonacci em formulário closed é nomeado em sua honra, embora o mesmo resultado seja sabido a Euler sobre cem anos mais adiantado.
Binet graduou-se do l'École Polytechnique dentro 1806, e retornado como um professor dentro 1807. Avançou em posição até 1816 quando se transformou um inspector dos estudos no l'École. Prendeu este borne até Novembro 13, 1830, quando foi demitido pelo coroado recentemente Rei Louis-Philippe de France, provavelmente por causa da sustentação forte de Binet do rei precedente, Charles X. Em 1823 Binet sucedeu Delambre na cadeira de astronomia no Collège de France. Foi feito a a Chevalier no d'Honneur de Légion em 1821, e foi elegido ao Ciências do DES de Académie em 1843.



Carl Gustav Jacob 


Carl Gustav Jacob Jacobi nasceu na Alemanha. Seu pai era um próspero banqueiro, nunca tendo lhe faltado nada. Obteve boa instrução na Universidade de Berlim, concentrando-se em Filosofia e Matemática à qual acabou por dedicar-se inteiramente. Era professor nato e gostava de transmitir suas idéias.
Na mesma época que Gauss e Abel, Jacobi desenvolveu a teoria sobre as funções elíticas. Tendo conhecimento de que Abel havia entregue a Cauchy alguns ,artigos sobre o assunto, Jacobi escreveu ao mestre francês perguntando por eles na esperança de obter informações que confirmassem sua descoberta. Cauchy, entretanto, tinha perdido os escritos de Abel.
Seu tratado clássico "Fundamentos da Nova Teoria das Funções Elíticas" apareceu em 1829, ano da morte de Abel, e mereceu elogios até de Legendre. Em 1834 provou que se uma função unívoca de uma variável é duplamente periódica, a razão entre os períodos não pode ser real e é impossível que ela tenha mais de dois períodos distintos. A ele também devemos o estudo das "funções theta de Jacobi", funções inteiras das quais as elíticas são quocientes.
Até essa época, a teoria dos determinantes aparecia nos trabalhos de alguns matemáticos como Leibniz, Cramer e Lagrange, mas com idéias esporádicas. O desenvolvimento contínuo dessa teoria teve lugar somente no século XI X e seu principal colaborador foi Jacobi, além de Cauchy, construindo algoritmos, dando regras práticas com grande preocupação pelas notações de determinantes e em 1829 usou pela primeira vez os "jacobianos", determinantes especiais análogos para funções de várias variáveis, do quociente diferencial de uma função de uma variável. Através deles conseguiu provar o teorema dos quatro quadrados de Fermat-Lagrange e também com a utilização dos jacobianos conseguiu saber quando uma coleção de funções é independente.
Os artigos de Jacobi, bem como os de Abel e Dirichlet apareceram freqüentemente no Journal de Crelle.
Em 1842, quando Jacobi visitou Paris, perguntaram-lhe quem era o maior matemático inglês vivo e ele, impressionado com tantas descobertas francesas importantes, respondeu: "Não há nenhum", o que foi considerado muito deselegante e cruel de sua parte
Carl G. J. Jacobi ( 1804 - 1851 ).
   






Fellice Chió

Felice Chiò nasceu em Crescentino, no dia 29 abril 1813 e morreu em Turim em 28 de maio de 1871.
Completou os estudos secundários em Vercelli, Itália. Em 1835, Chiò é licenciado em Filosofia na Universidade de Turim. Pupilo de Giovanni Plana durante o curso de Cálculo Infinitesimal obteve, em 1838, a sua nomeação como Professor de Matemática na Academia Militar,
Em 1854 foi nomeado Professor de Física Matemática da Faculdade de Ciências, onde realizou o curso de Análise e Geometria.
A produção científica de Felice Chiò, embora não muito grande, é profunda e rica, com resultados originais em especial nos domínios da Análise Pura.
Entre as mais importantes contribuições recordamos os estudos sobre a Teoria da Série. Chiò apresenta, em 1841, na Academia de Ciências de Turim uma nota sobre a Série Periódica (regular), onde enfrenta a hostilidade daqueles acadêmicos que defendiam as teorias de Euler, Lagrange e Cauchy. Aconselhado para retirar o seu trabalho, os teoremas serão encontrados, sem o conhecimento de Chiò por K.J. Malmsten e publicada em 1844.
O mais famoso de Chios respeita à correcção de algumas imprecisões feita por Lagrange sobre a série que tem o seu nome. Rejeitada, em um relatório por Carlo Ignazio Giulio e Luigi Federico Menabrea dall’Accademia de Ciências de Turim, este estudo é publicado em Paris dall’Accademia para o envolvimento de A.-L. Cauchy em duas memórias intitulado Recherches sur la série de Lagrange. Chiò que comunica estes resultados para o oitavo congresso de cientistas italianos em Génova em 1846 desencadearam uma longa controvérsia com Menabrea que durou até depois da morte de Quíos contra aqueles que, como Angelo Genocchi, eles defenderam posições.
Participam activamente na vida política, Quíos foi deputado para seis legislaturas do Parlamento Europeu e membro do Conselho Superior para os Institutos de Educação.




Pierre Simon Laplace


Astrônomo e matemático francês , Marquês de Pierre Simon de Laplace nasceu na localidade de Beumont-en-Auge , Província da Normandia em 28 de março de 1749. Filho de um próspero fazendeiro , revelou um grande talento e perspicácia para a matemática enquanto estudava teologia na Universidade de Caen.
Embora de origem modesta , pôde estudar na Escola Militar da cidade natal, graças ao interesse de alguns vizinhos de seu pai, abastados e mais esclarecidos. Pouco depois , tornou-se professor de matemática nessa escola e, em 1767, foi para Paris , após encaminhar muitas cartas de recomendação a Jean d'Alambert , um dos matemáticos mais célebres da época. Não recebendo qualquer resposta , enviou ao mestre um trabalho sobre mecânica que lhe patenteou definitivamente o talento de jovem estudioso. Desfrutando da admiração de D'Alambert , obteve o lugar de professor da Academia Militar de Paris. Por volta de 1784 , tomou parte na organização da Escola Politécnica e da Escola Normal, e ingressou na antiga Academia de Ciências. Daí em diante, foi distinguido por vários cargos políticos de importância, entre os quais o de Ministro do Interior, com Napoleão , e o de vice-presidente do Senado, em 1803. Par e Marquês na restauração, figurou como um dos "quarenta imortais" da Academia Francesa.
Laplace foi o mais influente dentre os cientistas franceses em toda a história. Sua reputação o tornou célebre e imortal, ficando conhecido como o " Newton francês ". Sua carreira foi importante por suas contribuições técnicas para as ciências exatas, para o ponto de vista filosófico que ele desenvolveu durante sua vida e pela parcela que tomou parte na formação das modernas disciplinas científicas. Seus últimos anos de vida foram vividos em Arcueil , onde ele e um amigo químico chamado Bertholet encontravam-se associados a um círculo filosófico conhecido como Société d'Arcueil. Laplace aparentemente encontrou uma extensão anormal da modéstia quando estava vivendo seus últimos momentos na cama , onde ele pronunciou : " O conhecimento que temos das coisas é pequeno, na verdade , quando comparado com a imensidão daquilo em que ainda somos ignorantes ".
Contexto histórico
A melhor definição que encontramos para caracterizar a França da época de Laplace está descrita no parágrafo a seguir :

" No final do século XVIII , a estrutura social da França era essencialmente Aristocrática. Conservava características de origem, isto é , da época em que a terra constituía a única forma de riqueza social e conferia a seus possuidores o poder sobre aqueles que a cultivavam" ( Albert Soboul , História da Revolução Francesa ).
Este final de século a que se refere o mencionado parágrafo foi marcado por um período conturbado, onde ansiava-se por mudanças radicais na estrutura política , social e econômica no país. As classes mais baixas , formadas por camponeses , burgueses e artesãos, lutavam pelo fim da desigualdade tributária, pelo fim dos privilégios políticos da nobreza e pelo fim dos privilégios econômicos do clero. As atividades mercantis dos burgueses conflitavam-se constantemente com os arraigados princípios do feudalismo.
Sinteticamente , buscava-se a liberdade e a igualdade e cada vez mais evidenciava-se a eclosão de uma revolução. Foi justamente nesta época que ocorreu a Revolução Francesa (1789) cujos efeitos fizeram-se sentir em quase toda a Europa, pois, por trás das reivindicações de uma classe social de um país, estava nascendo uma nova ideologia liberal-democrata que contradizia os princípios do Absolutismo e viria a adequar-se a uma nova ordem sócio-econômica: o capitalismo.
Culturalmente , presenciava-se a influência dos iluministas que caracterizavam-se por adotar uma filosofia de valorização da razão e o abandono dos preconceitos tradicionais. Dentre os pensadores da época podemos citar Locke, Bayle , Adam Smith , Rousseau, Voltaire, Diderot e Kant.
Obras e contribuições
A vida de Laplace como cientista pode ser dividida em quatro períodos , todos eles apresentando novas descobertas e evoluções.
No primeiro período (1768-1778 ) , Laplace desenvolveu a solução de problemas de cálculo integral , matemática astronômica , cosmologia e teoria de chances de jogos. Durante este período formativo , ele estabeleceu seu estilo, reputação, posição filosófica, certas técnicas matemáticas e um programa de pesquisa em duas áreas : probabilidade e mecânica celestial , nas quais , a partir de então , trabalhou para o resto de sua vida.
No segundo período (1778-1789 ), ele iniciou a pesquisa na sua terceira área de maior interesse: a física. Sua colaboração foi , juntamente com Lavoisier , relativa à teoria do calor.
O terceiro e revolucionário período (1789-1805 ), centralizou-se na preparação do Sistema Métrico. Mais importante, na década de 1795 a 1805, sua influência foi fundamental para as ciências exatas no mais novo instituto fundado da França: a Escola Politécnica foi o local onde a primeira geração de físicos matemáticos foi treinada.
O trabalho do quarto período (1805-1827 ) exibe elementos de culminação e declínio. Laplace , em companhia de Berthollet , fundou uma escola, circundando ele mesmo com disciplinas na informal Société d'Arcueil. O centro de seu interesse foi em física: ação capilar , a teoria do calor , óptica corpuscular e a velocidade do som.
No começo de 1810 , Laplace voltou novamente sua atenção para a probabilidade, tomando como tópico fundamental a teoria dos erros. Também foi abordado o problema dos quadrados mínimos.
É neste período que Laplace desenvolve um método de solução integral para equações diferenciais: a Transformada de Laplace, cuja teoria , aliás , o consagrou na área de cálculo devido à praticidade oferecida na resolução de equações diferenciais.
Nestes quatro períodos de pesquisa e descobertas , Laplace publicou diversas obras , sendo as principais citadas a seguir: Traité de mécanique céleste , onde foi desenvolvida uma explanação matemática , com base na teoria da gravitação , dos movimentos dos corpos do sistema solar; Exposition du système du monde , onde foi apresentada sua famosa hipótese nebular a qual considerava a origem do sistema solar como resultado de uma contração e resfriamento de uma grande , aplainada e rotativamente lenta nuvem de gás incandescente ; Théorie analytique des probabilités , onde , como o próprio nome sugere , aborda-se aspectos da ciência probabilística.
Laplace desenvolveu inúmeros teoremas nas mais variadas áreas , sendo inviável , portanto , a citação de todas elas neste trabalho. Desta maneira , serão explicitadas logo a seguir as principais teorias formuladas por ele.
Equação Diferencial de Laplace
Sua importância central está na matemática pura e na física matemática. Uma função u(x,y) que possui primeira e segunda derivadas parciais contínuas e que satisfazem a equação de Laplace num ponto da vizinhança é chamada harmônica naquele ponto.
Esta equação é utilizada para definir o fluxo de eletricidade e o fluxo de qualquer fluido incompressível.
Estudos sobre a teoria do calor
O assunto enfocado por Laplace , juntamente com Lavoisier , nesta área refere-se à idéia de medir a quantidade de calor durante o processo de fusão de uma certa quantidade de gelo. Tal estudo é dividido em quatro partes : a primeira discute a natureza do calor e a sua quantificação; a segunda , a determinação dos calores específicos de substâncias selecionadas e de alguns calores de reação; a terceira , consequências teóricas e um programa para químico-física ; e a quarta , a aplicação das técnicas no estudo da combustão e da respiração.
A primeira parte consistiu apenas de uma análise e, posteriormente, reformulação das teorias sobre o calor já existentes: teoria da variação da energia cinética das moléculas de um corpo - esta teoria estabelece que a quantidade de calor de um corpo pode ser medida como a soma da energia cinética dos movimentos vibratórios das suas partículas; o modelo calórico de Robert Fox; teoria do calor livre, que estabelece que o calor total contido num corpo pode ser transferido para outro.
O problema da determinação dos calores específicos no caso mais simples da mistura de duas substâncias miscíveis foi formulado algebricamente por Laplace. Ele tomou m e m' como sendo as respectivas massas , a e a' , as temperaturas iniciais e b , a temperatura resultante da mistura. Então a razão dos calores específicos q e q' é dada por :

q / q' = m'.(b - a') / m.(a - b)
Entretanto , uma aproximação tão simples era inaplicável para a determinação dos efeitos do calor envolvendo reações químicas , combustão e respiração, os três mais importantes processos de interesse. Frente a esta limitação, os autores (Laplace e Lavoisier) imaginaram um método para aplicação geral.
Suponha uma esfera de gelo coberta por uma fina casca capaz de isolar a superfície interna do calor da vizinhança. Suponha um corpo quente que foi introduzido no interior de uma cavidade desta esfera. Este calor poderia fundir uma porção da superfície interna até que ela zerasse a temperatura , e a massa da água seria proporcional ao calor requerido para provocar aquele efeito. Os equipamentos foram adquiridos e montados e uma das importantes conclusões foi que o calor necessário para se derreter uma libra de gelo elevava a temperatura de uma libra de água de 0ºR para 60 ºR. Os resultados, contudo, não foram muito promissores pois, não existia um modo de chegar àquela razão de massas através da simples mistura de substâncias a diferentes temperaturas: todo o processo ocorria com troca de calor entre as mesmas o que inviabilizava qualquer tentativa de mensuração de propriedades associadas ao fenômeno.
Outras tentativas foram realizadas sem obter grandes êxitos. Laplace iniciou , então, um programa para pesquisa e estudo do equilíbrio entre o calor, que tende a separar moléculas, e afinidade, as quais tratadas juntas, podem oferecer um método para comparar a intensidade destas forças de afinidade. Por exemplo, uma certa massa de gelo mergulhada num ácido seria fundida desde o momento em que o ácido fosse suficientemente enfraquecido para que sua atração pelas moléculas do gelo fossem balanceadas pelas suas forças mútuas de aderência. No prefácio do trabalho Théorie du mouvement et de la figure elliptique des planétes, Laplace referiu-se aos experimentos com Lavoisier e repetiu a reflexão sobre a força atrativa de afinidade e a força repulsiva do calor.
A velocidade do som
Em 1802 , Laplace fez uma de suas mais duradouras contribuições para a ciência, num artigo que foi escrito por seu jovem pupilo Biot: " Sur la théorie du son , " no Journal de physique. Usando um conhecimento de fenômenos adiabáticos, os quais tinham se tornado disponíveis na França recentemente, Laplace sugeriu a Biot, como a notória discrepância de aproximadamente 10 por cento entre o valor experimental para a velocidade do som no ar e o valor calculado usando a expressão de Newton, v=(P/p)1/2 , poderia ser removida. De acordo com Laplace, a discrepância surgiu da negligência por parte de Newton das mudanças na temperatura que ocorriam nas regiões de compressão e rarefação que compunham a onda sonora.
Biot expressou a densidade do ar em qualquer ponto da onda sonora como p'=p(1+s) onde p é a densidade do ar não perturbado e s a mudança fracionária na densidade , tomada como positiva para a compressão. Analogamente, a pressão do ar pode ser expressa como P' = P(1+s) , onde P é a pressão do ar não perturbado. Entretanto ,como supôs Biot, se ocorresse aquecimento e resfriamento respectivamente nas regiões de compressão e rarefação, esta equação não poderia ser utilizada. Fazendo uma razoável suposição de que a mudança na temperatura era proporcional a s, Biot chegou na expressão P' = P(1 + s)(1 + ks) , onde k é uma constante. Assim , assumindo que s é pequeno e negligenciando os termos de s2 , Biot pode mostrar que a velocidade do som no ar é :

V = [(1 + k)P / p]1/2
Em 1816 Laplace mostrou que a constante de Biot, (1+ k), era igual à razão entre o calor específico a pressão constante (cp) e o calor específico a volume constante (cv). Disso segue que, mediante condições adiabáticas, a expressão final para a velocidade do som é :

V = (cp.P/ cv.p)1/2
A Transformada de Laplace
Esta era uma transformada integral extensivamente usada por Laplace na teoria da probabilidade.
A Transformada de Laplace é usada para a solução de equações diferenciais, para o cálculo de integrais definidas e em muitos ramos da matemática abstrata (análise funcional, cálculo operacional e teoria analítica numérica ).
O Laplaciano
O operador Laplaciano é envolvido em algumas das mais fundamentais equações da física matemática, a saber, equação de Laplace, equação de Poisson, várias equações de onda (como as de eletricidade e magnetismo, som, vibrações, a equação de Schrödinger da mecânica quântica), as equações de fluxo de calor e de difusão.
 








Joseph Louis




Bem jovem tornou-se professor na Escola Real de Artilharia em Turin, fazendo sua primeira publicação em 1759 na "Miscelânea", revista da Academia.
Lagrange substituiu Euler na Academia de Berlim, por convite de Frederico, o Grande, aí passando vinte anos. Em Berlim publicou importantes obras sobre Mecânica, problema dos três corpos, primeiras idéias de funções e importantes trabalhos sobre teoria das equações. Após a morte de Frederico, foi para a França, convidado por Louís XVI, onde tomou parte no Comitê de Pesos e Medidas.
Foi o primeiro professor da Escola Politécnica onde ensinava Análise, escrevendo notas de curso em vários níveis mais tarde publicadas no clássico "Teoria das Funções Analíticas", marcante em seu rigor e tentando tornar o Cálculo mais lógico do que prático. Nesta obra impulsionou a teoria das funções de variável real que a partir daí ocuparia a atenção dos matemáticos, utilizando-se nela da notação para derivadas de várias ordens.
Na Escola Normal, Lagrange preparou e ministrou aulas, hoje equivalentes às do curso colegial ou pré-universitário, em Álgebra avançada.
Lagrange muito contribuiu para o estudo do Cálculo das Variações, um ramo novo da Matemática no século XVIII, resolvendo com esta teoria vários problemas de isometria, chegando a ser considerado superior mesmo por Euler.
Em Teoria dos Números fez importantes demonstrações, provando, por exemplo, que todo inteiro positivo é a soma de no máximo quatro quadrados perfeitos. Em 1788,, Lagrange publicou sua "Mecânica Analítica" considerada um poema científico pela perfeição e grandeza de sua estrutura, associando-se mais à Matemática Pura do que à Aplicada. Sua idéia fundamental influiria muito nas reformas educacionais da Revolução Francesa e, como dizia o próprio Lagrange: "parece-me que as soluções que vou apresentar serão de interesse para os geômetras tanto pelos métodos quanto pelos resultados. Essas soluções serão puramente analíticas e podem ser entendidas mesmo sem figuras", e realmente não há um único diagrama em seu trabalho.
Lagrange era uma pessoa muito melancólica, com poucas participações em política e movimentos revolucionários, sendo que para ele a Matemática era uma arte sublime, sua própria razão pa existir.